Azər Şükürov 11 fevral 1994-cu ildə Beyləqan rayonunun Birinci Şahsevən kəndində anadan olmuşdur. 2002-ci ildə Əli Rüstəmov adına Birinci Şahsevən kənd 1 nömrəli tam orta məktəbin 1-ci sinfinə daxil olmuşdur. 2013-cü ildə həmin məktəbdən məzun olmuşdur. Hərbi xidməti başa vurduqdan sonra mülki fəaliyyət göstərmiş, Beyləqanda yerləşən “CTS AQRO” MMC pambıq istehsalı və emalı zavodunda traktorçu kimi çalışmışdır. Ailəlidi 2 oğlu var.
Azər Şükürov 2014-cü ilin aprelində Səfərbərlik və Hərbi Xidmətə Çağırış üzrə Dövlət Xidmətinin Beyləqan rayon üzrə Hərbi Komissarlığı tərəfindən müddətli həqiqi hərbi xidmət etmişdir. Qazax rayonunda yerləşən "N" saylı hərbi hissədə xidmət etmişdir.
2020-ci ilin 14 iyul tarixində Tovuz döyüşləri zamanı general-mayor Polad Həşimovun şəhid olmasından sonra səfərbərlik başlamış, Azər Şükürov səfərbər olunmuşdur. 21 sentyabr 2020-ci ildə Ağcabədi rayonunda yerləşən "N" saylı hərbi hissəyə çağırılmışdır.
Azərbaycan Ordusunun əsgəri olan Azər Şükürov 2020-ci il sentyabrın 27-dən Azərbaycan Silahlı Qüvvələri tərəfindən Ermənistan işğalı altında olan ərazilərin azad edilməsi və Azərbaycanın ərazi bütövlüyünün bərpa olunması üçün başlanan İkinci Qarabağ müharibəsində könüllü olaraq iştirak etmişdir. Cəbrayılın və Qubadlının azadlığı uğrunda gedən döyüşlərdə vuruşmuşdur. Azər Şükürov 22 oktyabr 2020-ci ildə Qubadlı rayonu istiqamətində döyüş tapşırığının yerinə yetirilməsi zamanı həlak olmuşdur. Bir müddət axtarılan nəşi həmin ilin 3 noyabr tarixində tapılmış və ertəsi gün doğulduğu Beyləqan rayonunun Birinci Şahsevən kəndində dəfn olunmuşdur.
Azərbaycanın ərazi bütövlüyünün təmin edilməsi uğrunda döyüş əməliyyatlarına qatılan və hərbi hissə qarşısında qoyulmuş tapşırıqların icrası zamanı vəzifə borcunu şərəflə yerinə yetirdiyi üçün Azərbaycan Prezidenti İlham Əliyevin 15.12.2020-ci il tarixli Sərəncamına əsasən Azər Şükürov ölümündən sonra "Vətən uğrunda" medalı ilə təltif edildi.
Azərbaycanın Cəbrayıl rayonunun işğaldan azad edilməsi uğrunda aparılan döyüş əməliyyatlarına qatılaraq şəxsi igidliyi və şücaəti nümayiş etdirdiyinə görə Azərbaycan Prezidenti İlham Əliyevin 24.12.2020-ci il tarixli Sərəncamına əsasən Azər Şükürov ölümündən sonra "Cəbrayılın azad olunmasına görə" medalı ilə təltif edildi.
Azərbaycanın Qubadlı rayonunun işğaldan azad edilməsi uğrunda aparılan döyüş əməliyyatlarına qatılaraq şəxsi igidliyi və şücaəti nümayiş etdirdiyinə görə Azərbaycan Prezidenti İlham Əliyevin 29.12.2020-ci il tarixli Sərəncamına əsasən Azər Şükürov ölümündən sonra "Qubadlının azad olunmasına görə" medalı ilə təltif edildi.
Azərbaycan ərazilərinin işğaldan azad olunması zamanı döyüş tapşırıqlarını uğurla yerinə yetirdiyinə, düşmənin əsas qruplaşmalarının məhv edilməsi ilə qoşunların döyüş qabiliyyətinin qorunub saxlanılmasında fərqləndiyinə görə Azərbaycan Prezidenti İlham Əliyevin 24.06.2021-ci il tarixli Sərəncamına əsasən Azər Şükürov ölümündən sonra "Cəsur döyüşçü" medalı ilə təltif edildi.
