2006—2014-cü illərdə Bəylər kənd ümumi orta məktəbində təhsil alıb. 2016-cı ildə hərbiyə yollanan Elgiz, TərTər rayonunun "N" saylı hərbi hissəsində qulluq edib.

Azərbaycan Ordusunun əsgəri olan Elgiz Mehtiyev 2020-ci il sentyabrın 27-də Azərbaycan Silahlı Qüvvələri tərəfindən Ermənistan işğalı altında olan ərazilərin azad edilməsi üçün başlanan Vətən müharibəsi zamanı Qubadlının azadlığı uğrunda gedən döyüşlərdə savaşıb. Elgiz Mehtiyev noyabrın 5-də. Qubadlı döyüşləri zamanı şəhid olub.

Azərbaycanın ərazi bütövlüyünün təmin edilməsi uğrunda döyüş əməliyyatlarına qatılan və hərbi hissə qarşısında qoyulmuş tapşırıqların icrası zamanı vəzifə borcunu şərəflə yerinə yetirdiyi üçün Azərbaycan Prezidenti İlham Əliyevin 15.12.2020-ci il tarixli Sərəncamına əsasən Elgiz Mehtiyev ölümündən sonra "Vətən uğrunda" medalı və 24.06.2021-ci il tarixli Sərəncamına əsasən "Cəsur döyüşçü" medalı ilə təltif edilib.

Azərbaycanın Cəbrayıl rayonunun işğaldan azad edilməsi uğrunda aparılan döyüş əməliyyatlarına qatılaraq şəxsi igidliyi və şücaəti nümayiş etdirdiyinə görə Azərbaycan Prezidenti İlham Əliyevin 24.12.2020-ci il tarixli Sərəncamına əsasən Elgiz Mehtiyev ölümündən sonra "Cəbrayılın azad olunmasına görə" medalı ilə təltif edilib.

Azərbaycanın Qubadlı rayonunun işğaldan azad edilməsi uğrunda aparılan döyüş əməliyyatlarına qatılaraq şəxsi igidliyi və şücaəti nümayiş etdirdiyinə görə Azərbaycan Prezidenti İlham Əliyevin 29.12.2020-ci il tarixli Sərəncamına əsasən Elgiz Mehtiyev ölümündən sonra "Qubadlının azad olunmasına görə" medalı ilə təltif edilib.